ここは主に, 中学卒業程度の知識を前提として解析学を勉強しようという site 「微分積分いい気分♥」 (, もっと旧) の掲示板 「開いてて良かった! 掲示板」 に投稿された質問の内, 面白いもの等を主として残す為に作られた blog です。 その他の掲示板等で見つけた面白い問題等も記録されています (と言うか寧ろそっちの方が多い)。
質問と, 解答は多少編集されていますが, ほとんど元のままです。
又, 最初の頃の投稿の日付は original の最初の質問の日付にしてあります。 現在は投稿日時になっています。

2016/6/5  15:32

四角形の面積 (2)  幾何学






解答:

AD を結ぶと $\angle{ABD} = 45^\circ$ なのだから, $\angle{CBD} = 15^\circ$ である。
辺 BC 上に, (三角函数の加法定理を避ける為に) 点 E を BE = DE となるようにとると, $\angle{EDB} = \angle{EBD} = 15^\circ$ であるから, $\angle{DEC} = 30^\circ$ である。
今, DC = x cm と置くと, 良く知られているように BE = ED = 2x cm, $EC = \sqrt{3}x$ cm であるから, $BC = BE + EC = (3 + \sqrt{3})x$ cm である。
従って $(3 + \sqrt{3})x = 10$ でなければならず, $x = \ds{5\over3}(3-\sqrt{3})$ でなければならない。
従って $BC = (2 + \sqrt{3})\cdot\ds{5\over3}(3-\sqrt{3}) = \ds{5\over3}(3 + \sqrt{3})$ であり, 三平方の定理から
$BD = \ds{{5\over3}\sqrt{(3-\sqrt{3})^2+(3+\sqrt{3})^2}} = \ds{10\over3}\sqrt{6}$
となるので, 求める面積は
$\ds{{1\over2}\left({10\sqrt{3}\over3}\right)^2 + {1\over2}\cdot{5\over3}(3 + \sqrt{3})\cdot{5\over3}(3-\sqrt{3})} = 25$.


これは書物に出ているらしいので, 中学校受験生としての解答を是非とも教えて欲しいものだが, 前回の様な似非解答を作ってみると:
BC + CD = 10 cm なのだから, 正方形化すれば, 一辺が 10/2 = 5 cm の正方形になるに違いない。
だから面積は $5^2 = 25\ \rm{cm}^2$ となって, 数値だけなら合っている。

因みに, 上記の解答は中学三年生ならば出来るように書いてある。
前回のもそう。



こちらも跡見学園のものに合わせて考えると, A を中心にして, BC と CD がつながるように四つ配置すれば, 一辺が 10 cm の正方形になるのだから $\ds{10^2\over4} = 25\ \rm{cm}^2$ となる。
(19th Nov 2017)
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タグ: 数学 幾何学



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