ここは主に, 中学卒業程度の知識を前提として解析学を勉強しようという site 「微分積分いい気分♥」 (, もっと旧) の掲示板 「開いてて良かった! 掲示板」 に投稿された質問の内, 面白いもの等を主として残す為に作られた blog です。 その他の掲示板等で見つけた面白い問題等も記録されています (と言うか寧ろそっちの方が多い)。
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2010/10/30  20:11

シカクいアタマをマルくする。  整数

シカクいアタマをマルくする。
2010年 城西川越中学校 【算数】

問題: 5 と 7 を幾つかずつ足して整数を作る。
例えば, 5・4 + 7・3 = 41.
但し, 5 と 7 を足す個数は 0 個の場合も含む。

問 1: 58 を作るには 5 と 7 がそれぞれ何個必要か。
問 2: 31, 32, 33, 34, 35 の中で, 5 と 7 を幾つ足しても作れないものはあるか。 あれば全て答えよ。 なければ 「ない」 と答えよ。
問 3: 5 と 7 を幾つ足しても作ることの出来ない整数がある。 その中で一番大きい整数を答えよ。


解答と感想:
大学の言葉で言うと, 5 が mod 5 で, 0 と 5 しか作らない。 即ち, 小学生の言葉で言えば, (十進法で) 一の位に着目すると良い, というのが味噌である。
5 と 7 が互に素で, 5・3 - 7・2 = 1 だから, 係数が負の範囲まで広げれば, 5m + 7n はすべての整数を生成する。 ところが, 正の範囲 (正確には非負) だとそうはいかないという問題である。

問 1: 前述のように, mod 10 で考えると (つまり一の位だけ見ると) 7n で 3 又は 8 を作ることが必要である。
掛け算の 7 の段を調べてみると, 7・4 = 28, 7・9 = 63 なので, 58 を作る為には前者でしかあり得ない。
即ち 5・6 + 7・4 = 58.
5 が六個, 7 が四個。

問 2: 同様に考えて行く。
31 を生成するには, 7n で一の位を 1 か 6 にする必要がある。
7・3 = 21, 7・8 = 56 であることから, 5・2 + 7・3 = 31.
32 では 2 か 7. 明らかに 7 が可能だから 5・5 + 7・1 = 32.
33 では 3 か 8 で 7・4 = 28, 7・9 = 63 なので 5・2 + 7・4 = 33.
34 では 4 か 9 で 7・2 = 14, 7・7 = 49 なので 5・4 + 7・2 = 34.
35 では 7・5 = 35 で明らか。
以上より全て作れるので答は 「ない」。

問 3: 同様に一の位に着目すると各々 7, 12, 14, 19, 21, 26, 28, 33, 5, 10 以上の数は全て作れる。
5 を減じてみて考えると, 最大なのは 23 である。

模範解答
十進法で, 一の位に着目すれば出来るというのと, 誘導の仕方が上手い。
5, 7 以外の互に素な数でやると, 簡単過ぎるか難し過ぎる問題になるだろう。
なかなか数の選び方も上手い。

ここも参照のこと。
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タグ: 数学 整数



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