ここは主に, 中学卒業程度の知識を前提として解析学を勉強しようという site 「微分積分いい気分♥」 (, もっと旧) の掲示板 「開いてて良かった! 掲示板」 に投稿された質問の内, 面白いもの等を主として残す為に作られた blog です。 その他の掲示板等で見つけた面白い問題等も記録されています (と言うか寧ろそっちの方が多い)。
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2010/6/3  19:04

高階導函数  微分・積分

どうやって説明したらよいですか? 投稿者: 御手洗景子 投稿日: 2010 年 6 月 2 日 (水) 23 時 46 分 19 秒
答えも自信がないので教えてください。 次の関数 f(x) の n 階微分の x = 0 における値 f^(n)(0) = d^n(f(x))/dx^n を求めよ。 どうしてそうなのかも説明せよ。

次の関数 f(x) の n 階微分の x = 0 における値 f^(n)(0) = d^n(f(x))/dx^n を求めよ。 どうしてそうなのかも説明せよ。
(1) -- (4) は省略
(5) f(x) = arctan x
これを f^n(0) で微分すると (中略) (5) 0 でよいのでしょうか?
答えも今ひとつ自信はないのですが, これを説明するとするとどうしたらよいのかわかりません。教えてください。
「n 階微分の」ということもあまりわからないので教えてください。
http://mixi.jp/show_friend.pl?id=8351698


解答:
(5) tan f(x) = x なので, この両辺を x で微分すると, f'(x)/cos^2 f(x) = 1 即ち
(1 + x^2)f'(x) = 1. この両辺を更に x で微分すると (1 + x^2)f''(x) + 2xf'(x) = 0.
これを Leibniz の公式を用いて微分すると (1 + x^2) と x の微分は三階以上で 0 になることから
(1 + x^2)f^(n+2)(x) + 2(n + 1)xf^(n)(x) + n(n + 1)f^(n)(x) = 0 (n ≧ 0).
ここに x = 0 を代入すると
f^(n+2)(0) + n(n + 1)f^(n)(0) = 0 即ち f^(n+2)(0) = -n(n + 1)f^(n)(0).
更に f^(0)(0) = f(0) = 0, f^(1)(0) = f'(0) = 1.
だから f^(2n) = 0, f^(2n + 1) = (-1)^n・(2n)!
かな。 (岩波数学辞典の arctan の Taylor 展開を見ると合っていることが分かる)
「n 階微分」 ということが全く理解されていないようですね。
それについてはここをご覧下さい。
Leibniz の法則も, そこの例の [9] に出ています。

こちらも multi-post.
http://6321.teacup.com/phaos/bbs/195
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=10508#10508
http://okwave.jp/qa/q5940731.html

上記の解答先の一つでこれが参考として上げられていた。
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