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2011/11/22

そんな気分です☆スルー推奨  Electoronics/IT/Business

そんな気分なので以前twitterで見かけて解いていた数学の問題/答えをブログに残しておきます。
そんな気分とはそんな気分ですのでそんな気分です。

◎問題
aを0≦a≦1の範囲にある実数とするとき、y=|x−a|+|x−1|のグラフと直線y=xの交点の個数と交点の座標を求めよ。

◎答え
(1)まずは、y=|x−a|について
 x≧a の場合 y=x-a
 x<a の場合 y=-x+a
 ※y=|x−1|については、a=1の場合を考えれば良い

(2)y=|x−a|+|x−1|について
 a≦1なので下記の3つの場合に分ける事が出来る。
  x≧1 の場合  y=(x-a)+(x-1)=2x-a-1
  a≦x<1 の場合 y=(x-a)+(-x+1)=1-a
  x<a の場合 y=(-x+a)+(-x+1)=-2x+a+1

(3)これをグラフにすると

クリックすると元のサイズで表示します

(4)y=xとの交点は(2)においてy=xと置けば良い
  x≧1 の場合
   x=2x-a-1
   x=a+1≧1 となり aに関係なく x≧1 を満たすので
   (a+1,a+1)⇒1つめの交点

  a≦x<1 の場合
   a≦y=x=1-a<1
   a≦1-a より a≦1/2
   1-a<1 より a>0
   0<a≦1/2 の場合は (1-a,1-a)⇒条件付き交点

  x<a の場合
   x=-2x+a+1
   3x=a+1より x=(a+1)/3
   x<aの条件を満たす場合なので (a+1)/3<a より
   a>1/2 の場合は ((a+1)/3,(a+1)/3)⇒条件付き交点

(5)以上より
  a=0 の場合は (1,1) のみ 1個
  0<a≦1/2 の場合は (a+1,a+1) , (1-a,1-a) の 2個
  a>1/2 の場合は (a+1,a+1) , ((a+1)/3,(a+1)/3) の 2個

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☆08 東北大入試問題らしいけど、本当かどうかは未確認

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