そんな気分なので以前twitterで見かけて解いていた数学の問題/答えをブログに残しておきます。
そんな気分とはそんな気分ですのでそんな気分です。

◎問題
aを0≦ａ≦1の範囲にある実数とするとき、y=|x−a|＋|x−1|のグラフと直線y=xの交点の個数と交点の座標を求めよ。

◎答え
(1)まずは、y=|x−a|について
　x≧a の場合 y=x-a
　x＜a の場合 y=-x+a
　※y=|x−1|については、a=1の場合を考えれば良い

(2)y=|x−a|＋|x−1|について
　a≦1なので下記の3つの場合に分ける事が出来る。
　　x≧1 の場合　　y=(x-a)+(x-1)=2x-a-1
　　a≦x＜1 の場合　y=(x-a)+(-x+1)=1-a
　　x＜a の場合　y=(-x+a)+(-x+1)=-2x+a+1

(3)これをグラフにすると



(4)y=xとの交点は(2)においてy=xと置けば良い
　　x≧1 の場合
　　　x=2x-a-1
　　　x=a+1≧1 となり aに関係なく x≧1 を満たすので
　　　(a+1,a+1)⇒1つめの交点

　　a≦x＜1 の場合
　　　a≦y=x=1-a＜1
　　　a≦1-a より a≦1/2
　　　1-a＜1 より a＞0
　　　0＜a≦1/2 の場合は　(1-a,1-a)⇒条件付き交点

　　x＜a の場合
　　　x=-2x+a+1
　　　3x=a+1より　x=(a+1)/3
　　　x＜aの条件を満たす場合なので (a+1)/3＜a より
　　　a＞1/2 の場合は　((a+1)/3,(a+1)/3)⇒条件付き交点

(5)以上より
　　a=0 の場合は (1,1) のみ 1個
　　0＜a≦1/2 の場合は (a+1,a+1) , (1-a,1-a) の 2個
　　a＞1/2 の場合は (a+1,a+1) , ((a+1)/3,(a+1)/3) の 2個

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☆08 東北大入試問題らしいけど、本当かどうかは未確認