たけしのコマ大・数学科の第 236 回目。
ビートたけし
問題: 3×3 のマス目があり, 1 以上 9 以下の整数がそれぞれ一回ずつ現れるように各升に一つずつ書かれている。 各列に対し, そこに書かれた三つの数の内, 二番目に大きな数にそれぞれ印を付けると, 印の付いた三つの数の内二番目に大きな数が 5 になる確率を求めよ。
(最初は 「...二番目に大きな数が 5 になった。この時, 九個の整数の配置として考えられるものは何通りあるか?」 だったのだが
今回は日本数学オリンピックの予選問題に挑戦するはずだったのだが, この問題に変更になった。
何が起きたかはこの後の VTR を参照の事)
テーマ: 数オリなでしこジャパン
講師は中村亨
東大生はなでしこシスターズ (仮) (杉山文菜 農学部三年,
瀬戸山結衣 工学部四年)
杉山は飲み会ゲームが強いとか。 ミャンマーゲーム。 たけし: ビルマじゃ駄目なんだ。 「水島, 一緒に日本に帰ろう」 (ビルマの竪琴)
瀬戸山は元素の山手線ゲームでは誰にも負けないとか。 例: レアアース。 イットリウム, ガドリニウム, ジスプロシウム, ... (あとの二つ知らねぇ)
コマ大: こんななでしこジャパンは嫌だ (何故かスケブのめくりで)
ヘアースタイルが乱れるのでヘディングはしない!
スパイクが 10cm のハイヒールだ!
スローイングの時わき毛がはみ出して見えている!
金メダルより金○○が好きだ! (たけしダンカンの頭を殴る)
コマ大: 金メダリスト葛西氏を呼ぶ。
出てきたのは高校二年生の葛西祐美 (好きな芸能人は AKB48)。 (今年八月に中国で行われた女子数学オリンピックに参加。 そして金メダル獲得)
志望大学は東大。 コマ大を見ているとか。
「ヒントとかあるんだったら, 聞いてやってもいいかな」 と上から目線のダンカン。
答は膨大な数になり, コマ大方式だと一年くらいかかるかなと言われて, 一同唖然。
確率にすれば一年かからないということで, 急遽確率に変更。
検証はフットサル場で。
ここに現れたのは, 将来のなでしこジャパン (候補) の大東文化大学女子サッカー部の五人。
せっかくだからと, 対コマ大で勝負。 ところが大東大の圧勝。
ユニフォームの交換とセクハラ行為に及ぶダンカン。
検証は 3×3 のマス目のゴールに数字付のボールをけりいれて。
大東大 6, 4, 5 でこの場合は 5. これで 100% だというダンカン。
大東大はここでサヨナラ。 (良く考えたら, 各列なのだから, 横に三つのゴールでいいんじゃないの?)
81 回検証したらしい。
ここで問題提示。
中村が, 列とは縦の並びの事だという。 (が, 別に縦横間違えても対称性から同じ)
Let’s! 数オリなでしこジャパン! (ボールをけるとスタジオ奥に高々と上がって消えていく)
東大生は三つの場合に分けている。 (1 から 4 と 5, それから 6 から 9 の三通り)
(ここで CM)
東大生は何か思いついたらしい。
たけしはカンニングしている気がする。 (モニターを見ていたらしい)
瀬戸山が大学院入試の話題。 ノートを見せる。 一面真っ赤。 たけしが 「見せて」 と解答を覗く。 他の page には緑の字とか青い字とか見られる。
たけしのノートも面白いとか。 絵が描いてあるらしい。
中村: 今度, みんなのノートを見ましょうかね。
解答:
コマ大: 81 ゴール。 6/9 = 2/3. 体力的にあれが限界かなと。
たけし & ポヌ: 2/7. (4/8)・(4/7) で。
東大生: 4/7. 最初 5 に着目する。 5 が属している列のその他の数に着目すると, 一方は 1 から 4 の何れか, もう一方は 6 から 9 の何れかでなければならない。 ここまでで 4・4 通り。 残りが 6! そして, 先程の 5 が属するところでは 5 以外のものが上下どちらでも同じだから 2 を掛ける。 5 の位置もどこでもいいので 9 倍する。 全体は 9! なので, 割り算して答えが出る。 この時, 6 から 9 の group の一つは既に使っているので (1 から 4 の方も同様だから), 他がどう入っても 5 が条件を満たすことになる。
正解: 4/7.
(ここで CM)
解説: 東大生がほとんど説明してしまった。
Point: 5 に印が付く (その列で二番目) ⇒ (自動的に) 5 は印の付いた数の中で二番目である。
従って, 5 に印が付く配列の個数を求めて, すべての配列の数 9! で割れば良い。
何故なら, 5 に印が付く ⇒ その列の三番目は 5 より小さい ⇒ 1, 2, 3, 4 の内三つが他の二列にある
⇒ 1, 2, 3, 4 の内二つがある列がある ⇒ 印が付いた数が 5 より小さい列がある。
(6, 7, 8, 9 に着いても同様)
従って, 5 に印が付くような配列を求めれば良い。
5 を含む列が三通り (三種類)。
5 以外の数は 1, 2, 3, 4 から一つ (四通り), 6, 7, 8, 9 から一つ (四通り), この列の並び方が 3! = 6 通り。
残り六つの数の並び方が 6! 通り。
従って最初の問題である, 5 に印が付く場合の数は 207360 通り。
一日五百通り検証しても一年以上かかってしまう。
著名な女性数学者。
ヒュパティア (370--415) 史上初の女性数学者と言われている。 アレクサンドリア。 Hypatia of Alexandria. 肖像画 (横顔) が残されているようだが, 誰が描いたのか?
ゾフィ・ジェルマン (仏, 1776--1831) フェルマ予想の研究で有名。 (本格的な女性数学者としては初)
ソフィア・コワレフスカヤ (ロシア, ドイツ, スウェーデン 1850--1891) 微分方程式のコーシー・コワレフスカヤ理論。
エミー・ネーター (ドイツ, USA. 1882--1935) Noetherian ring.
ジュリア・ロビンソン (USA. 1919--1985) Hilbert 第十問題 (否定的解決) の研究。 女性初の科学アカデミー会員 (1976), 女性初のアメリカ数学会長 (1982)。
(フィールズ賞受賞者はまだ出ていない。 ところでカレン・ウーレンベックも著名な女性数学者に入れてくれ。 業績はゲージ理論。)
(ここで CM)
賞は東大生に。 (解答がほぼ完璧)
次回は 「謎の超高知能集団に迫る!」
たけし: 俺は習ってない。
参考 pages:
シャブリの気になったもの

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