たけしのコマ大・数学科の第 222 回目。
ビートたけし
問題: 図 (省略) のように AB = 120 を直径とする半円があり, A から出た光が半円の内部で二回反射し, 半径 OB 上の点 P を通るものとする。 光の方向をいろいろ変化させるとき OP の最小値を求めよ。
テーマ: 反射
戸部アナ: 「反射」 (指を使って変な顔をする) ということで, 私, 反射神経には自信がある方なんですよ。 さあ来い。 (と画面向かって左側にポーズをとってやって来るボールを二回よける) どんなもんじゃ〜い。 (BGM はウィリアム・テル序曲)
講師は中村亨
東大生は秒殺シスターズ (衛藤樹, 伊藤理恵, 共に東大医学部六年)
学園祭の話題。
東大五月祭。 医学部は骨密度や血圧測定をするらしい。 (今度行ってみよう。 血圧は直ぐに測れるが, 骨密度は測ったことがない)
たけしがバンドで学園祭に出た話。 ツービートでは 「変な間抜けな大学」 に行ったことがあるとか。
コマ大: 「隠れた学園祭クイーン」 だと言うダンカン。
コマ大 学園祭事件 Best 3! (Worst じゃなくて?)
第三位: ダンカン, 某有名私立大学で, 昨年, 慶応三田祭で控室でサインを書くが, 「慶応大学」 の 「慶」 の字が書けなくてごまかした。
第二位: 無法松, 某農業高校で, 駅に農業高校の人が軽トラで迎えに来た。 荷台に乗せられた。 白菜と一緒に, 白菜を抑えながら高校へ。 帰りは西瓜をお土産にもらい, 西瓜を抑えながら帰ってきた。
第一位: ガンビーノ小林, 某工業高校で, 楽屋が用意されていた。 「カンビール小林様」 と書かれていて驚いた。 いつも見てますとか言われたけど嘘だなと思った。 カンビールさんとか言われたら 「はい」 とか返事はしておいた。
中村: ちょっと難しいのか易しいのか, っていう, ちょっと不思議な感じの問題。
ここで問題提示。
コマ大: 反射の問題ということで, 鏡を使って検証。
今回は 「ご褒美」 をご用意。
グラビアアイドル, 平川舞弥 (まや) 参加。 B 89, 福岡県出身。
「可愛い水着を着たけん」 「よかよ」 と方言 service.
A 地点に平川さんを立たせて, 一番近い位置で鏡で反射させようという作戦。 検証は勿論一人ずつ。 (BGM にボンチの恋の... 何だっけ? ボンチシートだったような気が...)
最初は小林。 真ん中 (つまり O, これは絶対不可能, 何故なら反射方向は絶対に間違いなく半径方向になるから)
アタルは確実に見る作戦で。 B に。 これは正六角形の反射で見える。 「だっちゅうのの谷間。 あそこで窒息したい」。
ダンカン: まいちゃん, 見ちゃうよ〜水着姿。 ポーズは Y 字バランスで。 見えるよりも正解狙いで。 と言いつつ, かなり B に近いところで。 見えるところを想像。 ところが何故か無法松が水着で映っている。 「瞬間移動です」 と。
無法松: インリン・オブ・ジョイトイのものまねを request. M 字開脚か? 小林も無法松を突き飛ばして見る。 放送上は過激だということで映らない。
検証が終わったらそそくさと帰る平川さん。
Let’s! 反射! (手の上で大きく手を開く。 「わかりにくいでしょう?」)
中村: 入射角と反射角, 円の性質を使う。
たけしは定規とコンパスを使い始める。 分度器も使っている。
(ここで CM)
東大生計算中。 正弦を使っている?
たけしは OP の長さを計算中?
コマ大生を学園祭に呼ぼう! 本当に行って一緒に検証するという企画を考えている。
メリット:
頭の出来がそう良くない学校でも, 優越感に浸れる。
女子高, 女子大は無料で。 (但し, ものすげ〜お下品な打ち上げ付)
ガンビーノ小林の露店本格焼き蕎麦が味わえる。 (一皿お勉強価格二千円) (本当にやっていたらしいが, この値段はぼったくりだな)
農業高校に肥料提供。 (タカが馬鹿かお前らと)
大人数の検証も是非やってみたいとのこと。
解答:
コマ大: 48.5.
たけし & ポヌ: 60cos36°. 正五角形で考えた。 只, cos36°を計算するので嫌になっちゃった。 黄金比も関係あるのか?
東大生: 60cos36°. 三つの合同な三角形の辺と直径との接点 (交点だと思うが) が答え。 直径と垂直に交わる所で出した。 (君らは de Moivre の定理を知らず, 五次方程式が解けないのか)
正解: 48.
(ここで CM)
解説: 簡単の為に, 半径を 1 として考察。
予想: OP は正五角形の半分の時では? この場合 60・(1 + √5)/4 ≒ 60・0.809 = 48.54.
ところがこれは外れていて, 三角函数を使って精密に計算するとぴったり 48 の時が最小ということが分かる。 正弦定理, 加法定理, 二倍角の公式を用いる。 (面倒なので元ネタ page を見よ)
時間が難しい。
コマ大にとっては 「他の星の文字だ」 と言う。
江戸川乱歩の 「鏡地獄」 の話。 (これも下記 page 参照)
(ここで CM)
賞はダンカンに。 (可哀想だったから)
次回は 「熱血ダンカン親子が野球検証!?」
参考 pages:
ガスコン研究所
シャブリの気になったもの
シャブリ氏によると, この問題は, インターネットサイトの 「
みっちの隠れ家」からの問題。
第 143 問: 半円の内部で光が二回反射する問題 (2010.10.23) だそうである。

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