たけしのコマ大・数学科の第 202 回目。
ビートたけし
問題: 普通の骰子を二つ振り, その合計が偶数 (丁) か奇数 (半) を予想する game で, 普通とは違う骰子でも結果は同じになるようにする場合, 以下の条件で二つの骰子の六面に, それぞれどのような数を書き込んだら良いか?
[条件]
・骰子の目は正の整数 (0 は駄目)
・二つの骰子の目の和は, 普通の骰子と同じ pattern になること。
・二つの骰子の目は同一でなくても良い。
・一つの骰子の中に同じ数字があっても良い。
テーマ: 冪級数
戸部: ある一つの数同士を繰り返し掛け合わせる操作のことを冪というらしいのですが, 果たして冪級数とは一体どんなものなのでしょうか。 今夜は絶対に見るべき (冪) 〜。
講師は竹内薫
東大生は花の東大シスターズ (木村美紀 東大大学院, 山田茜 東大経済学部三年)
やっぱり竹内だよ, 用語の使い方が間違ってるよ。 有限和だから冪級数じゃないだろ。
11/29 は 「いい服の日」 だそうだ。
たけしは image down になるからと, ある designer から, 服を着ないでとお願いされたことがあるらしい。
服装についてタカに訊かれて木村は冬は特に毛が欲しいと答える。
山田は, きらきらしたものとか, ボトムは短めとか。
竹内, 冪が累乗であることの説明。 英語では power. 因みに語源はギリシャ語の dunamis, 意味はやはり power (力).
冪級数とは a
0 + a
1x + a
2x
2 + a
3x
3 + … のこと。
竹内の説明では定数項がなく, しかも係数もないという冪級数の説明としては零点。
「冪が級数になっている」 ではなくて 「冪がついている数列が級数になっている」 と言う方が正しい
ここで問題提示。
竹内: 要するに 1, 2, 3, 4, 5, 6 ではない骰子を作って下さいということ。
2 から 12 までの, 目の組み合わせの patterns の 6×6 の表は (位置は違っても) 基本的に同じにすること。
コマ大: 北野武監督 「アウトレイジ」 続編 「独占公開!?」
ダンカン 〆サバアタル アル北郷 お宮の松
たけしによると, カット割が真似してあるらしい。
お宮の松だけなんか緊迫感がない。
アウトレイジ 1.5
ダンカン: 好き嫌いなくせよ馬鹿野郎。
アタル: これリサイクルしろよ馬鹿野郎。
北郷: 赤い羽根募金!? やるに決まってんだろ馬鹿野郎。
お宮: お年寄りには席を譲ってばっかりだよ。
全員善人。
お宮: 始めましてだこの野郎。 名刺ですだこの野郎。
アタル: 頂戴いたしますこの野郎。 ご紹介します, ダンカンさんですこの野郎。
ダンカン: よろしくお願いしますだこの野郎。 お茶でも飲みに行きますかこの野郎。
北郷: 是非一杯お茶行きましょうこの野郎。
ダンカン: スイーツはお好きですか, 馬鹿野郎。
北郷: 甘いもの大好きだこの野郎。
ダンカン: こっちにいい喫茶店があるぞこのやろう。
お宮: 行きましょうですこの野郎。
全員他人。
お宮: 一発ギャグやるぞこの野郎。 (後ろを向いて) 「ゾマホン」 (一同笑う) (こちらを向いて) 笑えよ〜。
全員芸人。
全員ゲイ人。
というわけで, ここで丁半博打の賭場っぽい感じになって, やっと本題に。
今回の検証ルール。
普通とは違う骰子二つを実際に作り判定。
不正解の場合は罰ゲーム!
適当に書いている。
ダンカン, いきなり罰ゲーム決定。 割り箸輪ゴムピストルで撃たれる。
北郷も不正解。 ビンタ。
お宮不正解。 ビール瓶で顔面殴打は痛そうなので, 脛をこつん。
ダンカン, 定規パチーン。 北郷, 大好物のくさやを食べた ADの息を吹きかけられる。 お宮, 指詰めかと思いきや鉛筆トントン (指の間で)。 アタル, はげ吉田の歌を大音量でヘッドホンで聞かされる。 お宮, 付け睫毛を付けられる。 お宮続いてからの角棒を又の間に入れられてわっしょい。 そんな中アタルが適当に書いたら正解が出た。
アウトレイジ 1.5 完。
Let’s! べきっ級数! (腕を折る振り)
見てんじゃねぇ馬鹿野郎!
竹内: 6 + 6 = 12 だから, 12 以上の数は要らない。
ポヌは数を和に分解したものを沢山書いている。
(ここで CM)
東大生が, 2, 3, 3 というような, 数の pattern が全て同じという意味なのか, 丁半だけが同じでいいのかという質問をすると, 前者だという答。 そうでないと無数に pattern が出てきてしまうらしい。 (そりゃそうだ)
たけしは, ポヌに任せて, 自分はコマ大の答を盗み見ようとしている。
東大生は結構盛り上がっている。
たけしは煮詰まっているらしい。
解答:
たけし & ポヌ: (1, 2, 5, 6, 7, 3), (1, 2, 2, 1, 5, 3). 答は幾つかあるが, これは一つの pattern. 和の組み合わせを全部書き出すと, どちらの骰子にも 1 が必ず必要。
東大生: A: 1, 2, 2, 3, 3, 4; B: 1, 3, 4, 5, 6, 8. 両方で, (1, 1) は一通り, 又和が 12 になる組み合わせが一つしかないということから答を絞り込む。 大きい方から絞り込んでくる。 答は unique.
正解: 骰子 A 1, 2, 2, 3, 3, 4. B: 1, 3, 4, 5, 6, 8.
(ここで CM)
解説: 和 a + b は掛け算の 「冪」 (つまり指数法則) x
a・x
b = x
a + b.
有限冪級数として考える。
(x + x
2 + x
3 + x
4 + x
5 + x
6)
2
= x
2 + 2x
3 + 3x
4 + 4x
5 + 5x
6 + 6x
7 + 5x
8 + 4x
9 + 3x
10 + 2x
11 + x
12
が, 別の, 自然数係数の因数分解を持つか? という問題と同じ。
x + x
2 + x
3 + x
4 + x
5 + x
6
= x(1 + x + x
2)(1 + x
3)
= x(1 + x)(1 + x
2 + x
4)
という二つの patterns を持つ。
(
整数係数にすると x(1 + x)(1 + x + x2)(1 - x + x2) である。)
これを, 項数が同じ 6 になるように別の組合せで掛ける。
つまり x(1 + x + x
2)(1 + x) と x(1 + x
3)(1 + x
2 + x
4) (これ以外に, 項数が 6 になる組み合わせはない).
展開すると各々 x + 2x
2 + 2x
3 + x
4 と x + x
3 + x
4 + x
5 + x
6 + x
8.
因数分解の仕方。
先ず x(1 + x + x
2 + x
3 + x
4 + x
5).
因数定理から 1 + x が因数であることは直ぐに分かる。 そこで割り算を実行して
x(1 + x)(1 + x
2 + x
4)
最後の因数は
1 + x
2 + x
4 = 1 + 2 x
2 + x
4 - x
2
= (1 + x
2)
2 - x
2
= (1 + x
2 + x)(1 - x
2 + x)
となるわけである。
冪級数と Leonhard Euler.
Rieamann ζ-function の表示。
Taylor 展開の話。
Euler の業績の半分は 59 歳以降!
おいらも頑張らなくちゃ。
(まさしく Euler に学べ! である)
(ここで CM)
賞は東大生。 (文句なし)
次回は 「憧れのあの職業に挑戦!?」
π, f(x) 等の記号も Euler.
e
iπ = -1 とか。
冪級数っていうより, 母函数っていうべきじゃないの? と後で思った。
参考 pages:
ガスコン研究所
シャブリの気になったもの


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