たけしのコマ大・数学科の第 154 回目。
ビートたけし
問題: ある線分の二等分点, 三等分点, 四等分点, と順に新しい等分点にだけ印を付けていく。
15 等分点に印を付けた時, 新たに増える印の数を答えよ。
テーマ: ファレイ数列
戸部: せーの, ♪ちゃーちゃらっちゃちゃちゃちゃちゃ, ちゃーちゃらっちゃちゃちゃちゃちゃおれ! (ふぁれぃ) ふ〜。
講師は中村亨。
東大生は花の東大シスターズ (木村美紀, 山田茜)
タカ: 戸部ちゃん, 半期に一度位, 投げやりになりますね。
戸部: 楽しかったですよ。
タカ: もう直ぐハロウィーン。 お二人はどうですか。
木村: パーティーは良くやる。 (どんなと訊かれて) パジャマパーティーを良くやっている。 (写真が出る。 ♪パパパパパパジャマ〜と曲が流れる)
写真出る。 タカとたけし興奮。 「赤裸々な感じ。」 とタカ。
木村: 女の子の家でやる。
タカ: 特別に男性の参加とかないのか。 (まだないといわれて) 是非マス北野と私とだけでも。
たけし: もうこうなったらなし崩しってのもあり。 酒の所為にしちゃえばいい。
タカ: 仮装を年に一回ってのは何だお前らは。 俺は週に一回は最低でも仮装しているぞというマス北野ですけれど。
たけし: 俺なんかひどい時には週三回だよ。 楽屋にかつらと眼鏡は山のようにある。
コマ大: 日本 “珍” お祭り
千葉 ひげなで祭 (写真が出る。 鎌倉時代に始められたらしい)
愛知 うなごうじ (蛆虫) 祭 (昼間っから酒を飲んで道に寝転がる。 こんなの浅草でいつもやってるじゃないか, とたけし)
新潟 つぶろさし祭 (男根をさすって踊る祭。 たけしはこれをフジテレビでやって参加したことがあると言う。 その VTR が出る。 2008/7/27, みんな参加のひょうきん夢?? とかいう番組らしい。 タカ: 神事ってこういうところから始まっている。 週に一度やって欲しい。)
中村がファレイ数列について一言。
たけしが一寸中村を気の毒がる。
タカが木村さんの写真が出たときにはっとしていたと密告。
ここで問題提示。
最初の図では二等分点だけが出ていたが, 今回は四等分点までの例を出している。
たけし 「かぶっている」 と何度もつぶやく。
コマ大: 今回はファレイ数列。 そしてその検証現場は京浜鎌田商店街 「あすと」。 (蒲田行進曲が流れる)
「蒲田が大ピンチ!!」 (字幕)
恒例のハロウィーンパーティが新型インフルエンザの影響で中止に。 恩返しをすべく立ち上がったコマ大。 (G メン ’75 の曲が流れる。)
スチロールのブロックを 15 分割する。
二等分点に北郷が立つ。
三等分点。 いきなり, どうやって三等分するの? と疑問が。
四等分点ハロウィンのかぼちゃ。
五等分点もハロウィングッズ。
六等分点はねつき餃子。
1 時間 30 分後。 15 等分点に印が付け終わり, それを数える。二人をモニュメントとして残し, 残りは去る。
検証時間: 1 時間 45 分。
たけしが, これはコマ大は絶対正解になるよな, と言う。
中村: 良く考えると直ぐ解けるかもしれない。
東大生が程なく 「出来た」 と言う。 (ファレイ数列は有名だからね)
この二人では過去最速。
戸部: 私がゆっくりお茶を飲んでいる間に。
タカ: 戸部ちゃんゆっくりし過ぎ。
(ここで CM)
たけしは, 等分点を書いている。 規則性を探っているのか?
割と直ぐ答を書き込み, 又東大生の答を覗こうとしている。
プチ情報:
山田さんがフランスのルーブル美術館に行きモナリザと写真を撮ってきた。
たけしは, 休館日に一人で行ったという話をする。 おばさんがいて開けてくれる。 大英博物館とルーブルと一人で回ったんだよと自慢げ。
タカ: フランスと言えばマス北野といえば勲章をもらっている人なんですからね。
たけし: そうだよ, 俺はフランスで勲章もらってるんだよ。 どうして俺は縫いぐるみ着てるかな。
タカ: そこは人間の幅ということで。 そして一回つかまっていると言う汚点がありますからね。
戸部: そこはフランスは知っているんでしょうかね。
タカ: 余計な事言わないように。 取り上げられたら困りますからね。
木村さんは恋する秋。 恋愛末期会の会長に就任した。 恋愛をなかなかしていない女子。 (と言うと, 後ろに副会長候補 (戸部) が, とタカ)。 集まって恋愛の法則を発見したりする。
タカ: 恋愛出来ない人が集まって探っても発見出来ないのでは。
木村: 携帯ストラップの法則。 恋愛体質が分かる。 ストラップが派手な人は寂しがり屋で, 恋愛を求めている傾向にある。 (タカはストラップを一切付けない人だが) そういう人は, 恋愛がなくても生きていける, 自立タイプ。
タカ: 恋愛は必要ない。 肉体関係さえあれば。 (ひどい人だ, との声あり) 出来たら早く会長を退任したいですよね。
木村: 早く譲りたい。
解答:
コマ大: 8.
たけし: 8. 既に付けた印の数を 15 の素因数分解で求めた。
東大生: 8. 分母が 15 の既約分数の個数を求めればいい。 (基本的にたけしと言っている事は同じ)
正解: 8 個。
(ここで CM)
解説: 六等分点までを例として示す。 この辺りを見ると大体傾向が分かる筈。
(15 - 1) - (3 - 1) - (5 - 1) = 8.
新たに増えた点の数。
1 = φ(2) = 2 - 1 = 2(1 - 1/2).
2 = φ(3) = 3 - 1 = 3(1 - 1/3)
2 = φ(4) = 4 - 2 = 4(1 - 1/2)
4 = φ(5) = 5 - 1 = 5(1 - 1/5)
2 = φ(6) = (2 - 1)(3 - 1) = 6(1 - 1/2)(1 - 1/3)
......
φ(n) = (n と互いに素である n 未満の自然数の個数)
を Euler 函数という。
φ(n) = n(1 - 1/p)(1 - 1/q)…(1 - 1/r),
(p, q, ..., r は n の約数となる, 互いに異なる素数)
ファレイ数列: n 等分点までを大きさの順に並べた数列。 大きさが 1 以下の正の有理数で, 分母がn までの既約分数を大きさの順に並べた数列。
0/1, 1/1.
0/1, 1/2, 1/1;
0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1;
0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1.
0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1.
0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1.
(TV 上は 5/6 が抜けていた)
性質 (1) 隣り合う分数 b/a, d/c について ad - bc = 1.
(2) 隣り合う三つの分数 b/a, d/c, f/e について d/c = (b + f)/(a + e).
この性質 (2) から, 次の段のファレイ数列を作ることが出来る。
例えば, 2/5 と 1/2 の間は 3/7.
この数列を考えたジョン・ファレイ (1766-1826) はイギリスの地質学者で, 1816 年の論文の註に, 上記の性質 (2) を証明抜きで述べた。
その証明はフランスの Cauchy がしたが, 実は 1802 年にハロ (Haros) がしていた。
ファレイは現在地質学者としては忘れ去られており, この 「ファレイ数列」 にのみ名前が残っている。
タカ: マス北野も何年かしたらお笑いとしては忘れ去られてしまうかも。
たけし: 逆は恥ずかしいな。
(ここで CM)
賞は東大生。 (速かったから)
次回は 「お見合い問題」。
参考 pages:
ガスコン研究所
シャブリの気になったもの


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