たけしのコマ大・数学科の第 111 回目。
問題: 1 から 8 までの数字の書かれたカードをシャッフルして一枚ずつ
赤の箱と
青の箱に一枚ずつ分ける。 分け方の rule:
(1) 最初に出た card は
赤の箱に入れる。
(2) 二番目以降はそれまで出たどの cards よりも
大きければ赤の箱に,
そうでなければ青の箱に入れる。
このようにして全ての cards を箱に入れ終わった時に,
青の箱に card が一枚だけ入っている確率を求めよ。
テーマ: もう一つの Euler 数
講師は中村亨。
東大生は秒殺シスターズ(衛藤樹, 伊藤理恵)
一年前のエミー賞の話題。
中村は, Euler characteristic (オイラー標数) をもオイラー数だという。
ここで問題提示。
タカがここで実例を見せる。
コマ大: 28 時 (午前四時) までしか部屋が使えない。
どんどん実験。
三十分経過。 まだ出来ない。
更に三十分経過。 尚も出来ない。 いまだ一度も成功せず。
二時間経過。 憲章のやり方を疑い始めるメンバー。 口を動かす前に手を動かせと言うダンカン。 ここで無駄かもしれないと主張する者とダンカンと口論。 ダンカン 「出て行け」 と言う。 他の人がいなくなり, 唯一人で検証を続けるダンカン。
一時間後。 「運河必要かな」 と戻ってきた面子。 四葉のクローバーを手に。 「俺が悪かった」 と言うダンカン。 早速お宮がやってみるがやはり失敗。 幸運のパワーストーンで小林が try. でも失敗。 アタルは Dr. コバ を連れて来る。 (自称 Lucky boy) かなりいい線を見せるが, 最後で失敗。
とにかく地道な検証を続ける。
中村: 条件を満たす card の出方を一つもっていけば分かると思う。
東大生はたちまち答を書く。
コマ大はやらせだと不満たらたら。
中村: 条件が複雑なので注意して読んだ方がいい。
解答:
コマ大: 0/2000. 二千回やったが一度も成功しない。 ダンカン 「世界の未解決問題」 「答が出るようでは不正解」 (中村我慢できずに噴出す。 「そういうこともあるかなと」)
たけし & ポヌ: 1/20160. 全 patterns は 8!. 青い箱に一枚だけ入る出方は 「2, 3, 1, ...」, 「2, 1, 3, ...」 の 2 patterns だけである。 (違うかな〜)
東大生: 1/1440. (甘い甘いと言うコマ大メンバー) 8! 通りが全場合。 青い箱に一枚だけ入る為には, 最初が 1 か 2 でなければならない。 最初に 1 が出て, 2 が青に入る時の説明。 (この説明で初めて自分の間違いに気付くたけし。 「直前よりも」 と読み間違い) 求める確率は (7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)/8! = 1/1440.
正解: 1/1440.
解説: 青の箱に丁度一枚入る
⇔ 二枚目以降の七枚の内, 六枚はその前に出たどの card よりも大きい。
⇔ 最初の一枚と, 上記の六枚は, 増加する順に並んでいる。
⇔ この七枚は, 八枚から一枚を除いたものが小さい順に並んでいる。
Eg. 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 で 3 はどこ? というように考える。
一般に n 枚の時, n(n - 1)/(2n!) = 1/(2(n - 2)!).
1440 は 1 分に一回やって, 丸一日かかる計算。
四人で六時間やったら一回出来てめっけもの。
戸部: 運がなかったんですね。
Euler characteristic の話。
Euler が考えた問題 1:
1) 最初に出たカードは A の箱に入れる。
2) 二番目以降は
直前に出たカードより大きければ A の箱に, そうでなければ B の箱に入れる。
全てのカードを入れ終わった時, B の箱に丁度入っている確率。(sic) [口頭では patter 数と言っていたようだ]
Euler が考えた問題 2:
1, ..., n を増加→現象→増加と並べる。
1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, ...
Euler 数は sec x = ΣE
2nx
2n/(2n)! として出て来る。
賞は東大生。
参考 pages:
ガスコン研究所
シャブリの気になったもの

0