たけしのコマ大・数学科の第 107 回目。
問題: 1 から一億 (100,000,000) 迄の整数の中に出てくる全ての数字の和を求めよ。
テーマ: 億
戸部アナ: ♪億千万, 億千万, Japan!
タカ: 途中で投げるのは止めてください。
講師は中村亨。
東大生はメラメラシスターズ (木村美紀, 岡本麻希)
コマ大: 「億」 と言って思い付くものは。
僕は億万長者になりたい。
僕はですね, 三億円事件です。
奥さん, 見なはれ見なはれ。 いい仕事しまっせ! っていうのはどうです?
コマ大 fight, fight, fight!
ここで問題提示。
中村: 良く考えると, 凄く簡単です。
コマ大: イーストの第五会議室にて。
拷問部屋ですよ, と言うダンカン。
中にはスタッフが一週間徹夜して書き上げた, 1 から 一億までの数が並んでいた。
そこへ最強の助っ人 西春香 登場。 国際電卓協会推薦の電卓の達人。 「名人」 段位を持つ。
見取り算で実力チェック。 (そんな時間は不要なのでは?)
ダンカン 1〜99, アタル 100〜199, 小林 200〜299, 無法松 300〜399, 名人 400〜 と作業分担。
と, そこへ名人終了。 和歌山から来ているので新幹線の時間の都合で終電の為帰宅。
二時間後, アタルが数字の書かれたリボンを発見。
五時間経過。
アタルが法則を発見! (というところで video 終了。)
中村: 一秒に一つずつ数えて二十五年掛かる。
とりあえず, 10 とか 100 とか小さい数でやってみると分かるんじゃ?
たけし, 計算式を出して, 後はポヌさんに任せる。
東大生は, この方法で出来ると。
中村: とりあえず, 一億は例外として, 残りで考える。
たけし, 弱気な発言が続く。
解答:
コマ大: 18 億 1 万。 (1 から 一万まで計算したら, 18 万 1 になったので, これを一万倍すればいいのでは?) (アタル 一番大きい数では 72 になる。 1 から 72 迄の平均が 36 なので, これに五千万を掛けると丁度十八億。) (どうして五千万倍なの?)
たけし & ポヌ: 45・10
7 + (10/2)(10
7 - 1)・10
7 + 1. 先ず 1 から 9 迄が 45. それを元に, 10 から 100 迄を求めていく。 が, 途中で息切れした。
東大生: 3,600,000,001. (三十六億一) 1 から 9 迄が 45. これが何セットあるか? 二桁目は 20 sets. 三桁目は 300 sets. (4 桁目は 4000 sets) &c.
正解: 36 億 1.
解説:
(1) 1 から 99,999,999 迄を考える。
一の位: 45・10, 十の位: 45・20, 百の位: 45・300. &c.
(2) [アタル と同じ] 0, 1, 2, ..., 99999999 と逆に 99999999, 99999998, 9999997, ..., 0 と逆に並べてみて考えると, (上下合わせれば) 各々 72 である。 (72・一億)/2 + 1 = 36 億 + 1.
一寸いい話: 大数, 小数 (無量大数とか)。
賞は東大生。
参考 pages:
ガスコン研究所
シャブリの気になったもの
たけしのコマ大数学科 Part9 から。
877 :132人目の素数さん:2008/10/31(金) 14:25:43
0から順に自然数を書き並べたら、10進位取り記数法の仕組みから
10^n の位は (0が10^n 個, 1が10^n 個, 2が10^n 個, …, 9が10^n 個) の
パターンが繰り返される。
00000000から99999999までなら、各々の位で 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 が
各1千万個ずつ現れるので、合計は
(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)×10^7×8 =3600000000
最後に100000000の分を加えて3600000001
という説明をすればいいと思った。
878 :132人目の素数さん:2008/10/31(金) 16:02:21
今回の問題はあまり数学関係ないね
車のメーターと一緒で、どの位も合計が4億5千万になるから
450000000×8+1=3600000001
でいいんじゃね?

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