徒然♪日記

たけしのコマ大・数学科の第 109 回目。

問題: 一辺が同じ長さの正三角形と正方形を隙間なく並べて, 最小の凸十一角形を作る時, それぞれ何個必要か?
(緑色の正方形一個と赤い正三角形一個を並べて正五角形が作られている図が描かれている)

テーマ: 十一角形

戸部アナ: 内角の和は 1620 度, 対角線は 44 本もある十一角形。 一体どんな問題が出てくるのでしょうか? (両方の人差し指を立てて) ワンワン!

講師は中村亨。
東大生は脳殺シスターズ (小橋りさ, 生駒尚子) (久々に揃った)

たけし: 正七角形ってあるのかなと思って。
中村: 定規とコンパスだけでは正七角形は出来ない (存在はする)。 同じ意味で正十一角形は定規とコンパスだけでは描けない。
たけしはここで正五角形の作図の話をする。

コマ大: ラッキーナンバーは?
アタルは末広がりの 8. 北郷はいの一番の 1. お宮は七転び八起きの間を取って 7.5.
(ダンカン) 中途半端だなぁ。
コマ大〜 fight, fight, fight, fight, fight, fight, fight, ファ...
中途半端な (一寸聞こえず)。

ここで問題提示。
凸多角形の補足説明。

中村: 方程式を立てて作ることも出来る。

たけしは十二角形を作る。 ポヌは十角形を作る。 たけしは凹十一角形を作る。
東大生は周りだけを作って, 次に中を埋めて完成! でも最小性はどうなのかと疑問に思っている。
たけしは, 落書きを始めてしまう。 が, 先程の東大生のを遠くからちらりと覗いた所為か, 上手く十一角形は作れたようだ。
生駒さんは, 八ドル払うのに 13 ドル出すと, 三ドルは戻されてしまうという話をする。
たけしは, ナイフと鋸の話 (切る方向が, 日本と USA では逆)。

コマ大: さよなら三角又来て四角。 ということで頭に三角形と 「正・ほうけい」 をかぶって検証。 (と思ったらかぶったのは最初だけ)
早速正方形で麻雀卓や卓球台になぞらえて遊んでいる。
やはり最初は十二角形が出来てしまう。 次に作ったのは十角形。
ところが十二角形を置き換えて上手くいった模様。 (三回目)
検証時間: 0 時間 45 分。

解答:
コマ大: 正三角形 13 個, 正方形七個で。 図は下記 pages 参照のこと。 やっているうちに出来ちゃった。
たけし & ポヌ: 同じ答。 問題が出たとたんに殆ど出来ちゃったね。 (コマ大のと上下逆の図)
東大生: 同じ答 (コマ大図を一寸右に斜めにした図) 凸十一角形は 1620 度が内角の和。 60 度と 90 度, 120 度, 150 度幾つで出来るかということ。 結局 120 度と, 150 度であろうということから, 鶴亀算 (連立方程式) で求めた。 120 度が一つと, 150 度が十個。 150 度十個だと十角形になるので, 少し修正。

正解: 全員正解。

解説: 角度に注目。
60 度が a 個, 90 度が b 個, 120 度が c 個, 150 度が d 個とする。
60a + 90b + 120c + 150d = 1620.
これを 30 で割って
2a + 3b + + 4c + 5d = 54.
個数から a + b + c + d = 11. これを五倍して 5a + 5b + 5c + 5d = 55.
辺々引いて 3a + 2b + c = 1. 何れも非負整数なので, a = b = 0, c = 1 しかありえない。
従って a = b = 0, c = 1, d = 10 となる。
実際の図は東大生のように周りを効率良く作っていって最後に中を埋めていく。
角度から先程の図よりも小さくすることは出来ないことは明らか。
定規とコンパスで作図可能な図形の話。
正三角形 誰が作図法を発見したか不明。
正五角形 ユークリッド (ca BC 3c)
正十七角形 Gauss (1796/3/30) (正確には作図法を見つけたのではなくて, 作図可能であることを発見したのが Gauss, 作図法を考えたのは他の人, 誰だか忘れた)
正 257 角形 リーシュロート (1932)
正 65537 角形 ヘルメス (1894)
次の Fermat prime は? (open question)

DNA と正七角形, 正十一角形。
イースター島の 10 ペソ硬貨が正十一角形

賞は東大生。 (速かったから)

参考 pages:
ガスコン研究所
シャブリの気になったもの

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色々調べてみた人の話によれば, 十一角形が一番難しいらしい (三角形から十二角形までで)。