徒然♪日記

たけしのコマ大・数学科の第九十四回目。 (2nd season No. 12)

問題: 隣り合う数字を足して, 1 から 21 までの数字を作れるような数珠繋ぎの五つの数字を答えよ。
(数珠繋ぎ という言葉の意味があまりはっきりしない)

テーマ: 21

講師は中村。
東大生は野望メラメラシスターズ: 木村美紀, 岡本麻希 (19)。

たけしは 21 のとき, ジャズ喫茶のボーイをしていた。

コマ大: 三十人に聞きました! “21” といえば?
ブラックジャック (11), リーブ 21 (4), 怪盗 21 面相 (3), 江夏の 21 球 (2), 21 ヱモン (2), 自分の年齢・誕生日 (2), 鉄人 21 号 (1)。 (たけし: 前科)
コマ大 fight, fight, fight!

中村: 飛び飛びに足してはいけない。 円形に隣にたどっていく。

コマ大: エコと数学ということで, 何故か缶拾い。 (缶拾い二時間)
五つの場所に番号の付いた缶を配置。 1 から 21 まで缶を立てて確認。
「簡単じゃないですか」 と言うお宮。 「この何気ない一言が悪夢の始まりだった...」
1, 2, 4, 5, 6 では? 10 が出来ない。 2, 1, 4, 5, 6 では? やはり途中で駄目。
検証時間: 5 時間 52 分。

タカ: Fit via vi. (道は力によって生じる) [満面の笑み]

時間的にはたけし・ポヌが東大生よりも一寸早い。
たけし: はずす勇気だよな。

解答:
コマ大: 1, 5, 2, 10, 3. (最後の最後まで 1 と 2 を離す度胸がなかった)
たけし & ポヌ: 1, 3, 10, 2, 5 (逆回り). 10 を見つけたのはポヌ。 2 と 5 の入れ替えだ。
東大生 (野望メラメラシスターズ, 木村美紀, 岡本麻希): 1, 5, 2, 10, 3. 場合わけをした。 1, 2 は必ず使う。 21 - 2 - 1 = 18. 1, 2 を離す場合とくっつける場合とを考える。 各々順に考えていく。

正解: 1, 5, 2, 10, 3. (全員正解).

解説: 同じ数を使ってはいけないとは書いていない。 同じにしたら実は無理。
和のとり方:
数の種類→その組み合わせの種類
1→5
2→5
3→5
4→5
5→1
全部足して 21 通りだから。
1 と 2 は必要。 そこで残りを a < b < c とする。
1 + 2 + a + b + c = 21 で, a + b + c = 18 だから, a = 3, 4, 5 しかありえない。 何故なら a ≧ 6 だとすると, b ≧ 7, c ≧ 8 となって a + b + c ≧ 6 + 7 + 8 =21 で矛盾。
候補は六通り。
1, 2, 3, 4, 11.
1, 2, 3, 5, 10.
1, 2, 3, 6, 9.
1, 2, 3, 7, 8.
1, 2, 4, 5, 9.
1, 2, 4, 6, 8.
(1, 2, 5, 6, 7 は 4 が作れない)
隣り合う数字の和が他の組み合わせにあると out. (何故かと言うと, 上に書いたように, 組み合わせは元々 21 通りしかなかったから)
1, 2, 3, 4, 11 は 1 + 4 = 2 + 3 = 5 なので駄目。 (1, 2) と (1, 3) は元々駄目。
等々と条件に当てはまるのは正解に挙げた一通りだけ。 (検証が長い)

正方形を異なった正方形で埋め尽くすときの正方形の最小の数が 21. (A.J.W.Duijvestijn ドゥアイフェスタイン, オランダ 1929-1998) これ以下では無理だということが証明されているという話だった。
デュードニー レディ・イザベルの小箱(Lady Isabel’s Casket, 1902): 菱の一部分が細長い金。 残りを正方形に分割せよ。 (と見えた) その他

賞は東大生。 (理屈が出来ていたから)

参考 pages:
ガスコン研究所
シャブリの気になったもの (こちらの方が板書内容などが細かく記載されている)