徒然♪日記

たけしのコマネチ大学・数学科の第七十二回目。 (2007 年度三十一回目)。

問題: 同じ長さの二つの梯子が V の字を逆さにした形で立っていて, 地面に着いている梯子の両端は 4m 離れている。
この梯子に 3m (斜めに) 登った人が足をかけている横木の最頂部からの距離がもう一つの梯子の足からこの横木までの距離と等しいとき, この梯子の長さを求めなさい。
図はこちらをどうぞ。

テーマ: ピタゴラス

お正月二度目ということで拍手。
今年の抱負公表。
宇宙の根源が数だと言ったピタゴラス。
「数は宇宙を支配する」。

ここで問題公開。

脚立登場。 戸部ちゃん登ってデモ。

コマ大: 風船を使って検証。 風船とロープで三角形を作る。 駒沢オリンピック公園にて。
風の影響を受けて四苦八苦。 何故か風を追いかけて走り回る。
「千の風になって」 が流れる。
最後に計測が終了して万歳すると, 風船が飛んでいってしまう。
検証時間 2 時間 45 分。
(別に本当に上に上げなくてもいいんじゃないか。 平面上でロープで三角形作ればいいのでは?)
(同じことをたけしも言う)

明けマスて おめでとうござい マスタイム!

今回は途中一箇所壁があると言う竹内。

解答:
コマ大: 7.58m. 新年一発目なのでおめでたい数字ではないかということで。 名古屋。
たけし & ポヌ: 7.28m. 名古屋じゃないよ, 難波だよ。 といいながら, 相似と直角三角形で説明をするが, 段々難しくなって, 結局作図して計ってみた。
東大生: 7.5m. たけし & ポヌと同様に求めた。 最終的には時間切れで, 勘で 2√5 位かなと。

正解: 2 + 2√7 (≒ 7.2915026221291811810032315072785)m.

解説: 詳しいことはやはりこちらを見てもらう。
(何故かここでドボルジャークの 「新世界より」 が流れている)
x³ + 3x² - 25x - 27 = 0
まではいいが, ここで Cardano の公式を使うのは行き過ぎ。 (Cardano の公式を覚えていないのは大体皆同じ。 代数学者は覚えているらしい)
因数定理から考えると, x = ±1, ±3, ±9, ±27 のどれかが解になりそうだから代入してみる。
実行してみると x = -1 を代入すると確かにこれが解だと分るから
(x + 1)(x² + 2x - 27) = 0
となる。 どう考えても x > 0 だから x = -1 は解じゃない。 そこで後ろの二次方程式を解くと, x = 1 ± √28 = 1 ± 2√7. 再び x > 0 より x = 1 + 2√7. 従って求める解は 2 + 2√7 となるわけである。

数秘術とピタゴラスということで 「カバラ数秘術」 の話。
因みに僕は 5 だった。 妻は 9 だった。

賞はたけし。 (考え方はそう差がなかった)

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実際に色々やってみた人によると, 足の間の距離が 4m, 登った距離が 3m というのは良く設定されていて, 殆どの場合実際に Cardano の公式に頼らなければならないらしい。 つまり殆どが三乗根を用いた解になるようだ。
今回はテーマが 「ピタゴラス」 だったが, key point が三次方程式だったので, 寧ろ 「三次方程式」 にすべきだという意見が散見された。